Tentukan Batasan nilai x agar jumlah deret tak hingga: (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + . . . ≤ 1

Tentukan Batasan nilai x agar jumlah deret tak hingga: (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + . . . ≤ 1

Jawaban Terkonfirmasi

Pembahasan

Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan sama besar dari suku-suku berdekatan.

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku geometri.

Rumus suku ke-n, rasio, dan jumlah n suku pertama pada barisan geometri

$U_{n} = a r^{n - 1} \ \ r = frac{U_{n}}{U_{n - 1}} \ \ text{Untuk } r > 1 : Rightarrow S_{n} = frac{ a (r^{n} - 1) }{r - 1} \ \ text{Untuk } r < 1 : Rightarrow S_{n} = frac{ a (1 - r^{n}) }{1 - r} \ \ text{Untuk } |r| < 1 : Rightarrow S_{ infty } = frac{ a }{1 - r} \ \$

keterangan :

Un adalah suku ke-n

a adalah suku pertama

r adalah rasio

Sn adalah jumlah n suku pertama

Diketahui :

$text{Deret geometri :} : : (x - 1) + {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} + cdots \ \$

Ditanya :

$text{Batasan nilai} : : x : : text{agar jumlah deret tak hingga :} : (x - 1) + {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} + cdots : : leqslant 1 \ \$

Jawab :

Suku pertama dan rasio (r) dari barisan geometri tersebut adalah

$a = x - 1 \ \ r = frac{ {(x - 1)}^{2} }{x - 1} = x - 1 \ \ S_{ infty } = frac{ a }{1 - r} leqslant 1 : : text{dengan syarat} : : |x - 1| < 1 \ \ text{Untuk} : : x geqslant 1 \ \ |x - 1| < 1 \ \ x - 1 < 1 \ \ x < 1 + 1 \ \ boxed{x < 2} \ \ \ text{Untuk} : : x < 1 \ \ |x - 1| < 1 \ \ - (x - 1) < 1 \ \ - x + 1 < 1 \ \ - x < 0 \ \ boxed{x > 0} \ \$

Perlu diingat bahwa rasio umum dari barisan geometri tidak boleh sama dengan nol, sehingga x – 1 ≠ 0 artinya x ≠ 1.

Dengan demikian, batasan x agar deret tersebut konvergen adalah 0 < x < 1 atau 1 < x < 2.

Akan tetapi, supaya jumlah deret geometri tersebut ≤ 1 maka batasan x adalah sebagai berikut :

$S_{ infty } = frac{ a }{1 - r} \ \ S_{ infty } = frac{ x - 1 }{1 - (x - 1)} \ \ S_{ infty } = frac{x - 1}{2 - x} leqslant 1 \ \ x - 1 leqslant 2 - x \ \ 2x leqslant 3 \ \ x leqslant frac{3}{2} \ \$

Kesimpulan :

$text{ Batasan} : : x : : text{agar deret geometri tersebut nilainya} : : leqslant 1 \ \ text{adalah} : : 0 < x < 1 : : text{atau} : : 1 < x leqslant frac{3}{2} : . \$

Pelajari Lebih Lanjut

Diketahui Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri yang suku-sukunya positif. Jika U7-U3=24√2 dan U5=3√3 U2,suku ke-6 barisan tersebut adalah

brainly.co.id/tugas/16346320

Suku ke-6 dari barisan geometri 36+24+16…adalah

brainly.co.id/tugas/15258909

antara bilangan 4 dan 2916 akan disisipkan 5 bilangan sehingga terbentuk barisan geometri suku ke-4 barisan tersebut adalah

brainly.co.id/tugas/7292550

Menentukan suku ke-n barisan geometri brainly.co.id/tugas/1982747

Detail Jawaban

Kelas : 9

Mapel : Matematika

Kategori : Barisan dan Deret Bilangan

Kode Kategorisasi : 9.2.2

Kata Kunci : barisan, geometri, rasio

#TingkatkanPrestasimu