Tentukan bilangan enam angka n yang memenuhi (i) n adalah bilangan kuadrat sempurna, (ii) bilangan dibentuk dengan tiga angka terakhir n lebih satu dari tiga angka pertama n. (Sebagai ilustrasi n terlihat seperti 123124 tetapi itu bukan bilangan kuadrat)

Gini,,,

Misalkan tiga angka pertama n adalah a, maka n = 1000a + a + 1 = m^
m^ − 1 = 1001a = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ a
100000 ≤ m^ ≤ 999999
316 < m < 1000
(m + 1) (m − 1) = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ a

• Jika m + 1 = 143b dan m − 1 = 7c dengan bc = a
Karena 317 < m + 1 < 1001 maka 2 < b < 7.
Karena m − 1 = 7c maka m − 1 ≡ 0 (mod 7) —-> m ≡ 1 (mod 7)
m + 1 ≡ 2 (mod 7) —-> 143b ≡ 2 (mod 7)
143b = 7 ⋅ 20b + 3b
3b ≡ 2 (mod 7)
Karena 2 < b < 7 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 3
Jika b = 3 maka m = 143 ⋅ 3 − 1 = 428 —-> 428 − 1 = 7c —-> c = 61
a = bc = 183 —-> n = 183184 = 428^

• Jika m − 1 = 143b dan m + 1 = 7c dengan bc = a
Karena 315 < m − 1 < 999 maka 2 < b < 7.
Karena m + 1 = 7c maka m + 1 ≡ 0 (mod 7) —-> m ≡ −1 (mod 7)
m − 1 ≡ −2 (mod 7) —-> 143b ≡ −2 (mod 7)
143b = 7 ⋅ 20b + 3b
3b ≡ −2 (mod 7) —-> 3b ≡ 5 (mod 7)
Karena 2 < b < 7 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 4
Jika b = 4 maka m = 143 ⋅ 4 + 1 = 573