Tentukan jumlah Riemann fungsi g(x) = −2x + 4 pada interval [1, 5] (menggunakan n subinterval dengan lebar sama panjang).

Tentukan jumlah Riemann fungsi g(x) = −2x + 4 pada interval [1, 5] (menggunakan n subinterval dengan lebar sama panjang).

Materi : Integral Tentu

Untuk mencari jumlah Riemann dari fungsi tersebut, mula – mula kita cari dulu $Delta{x_i}$

g(x) = 4 – 2x dengan 1 ≤ x ≤ 5

Nilai delta tersebut dapat di cari dengan persamaan :

$Delta{x_i}=frac{b-a}{n}$ dengan n sub interval dengan lebar yang sama.

Jadi :

$Delta{x_i}=frac{5-1}{n}=frac{4}{n}$

Selanjutnya, cari titik – titik wakil dengan cara :

$x_1=1+frac{4}{n}\x_2=1+2cdotfrac{4}{n}=1+frac{8}{n}\x_3=1+3cdotfrac{4}{n}=1+frac{12}{n}\vdots\x_i=1+icdotfrac{4}{n}=1+frac{4i}{n}$

Sekarang, cari nilai f(x) nya, diperoleh :

$f(x_i)=4-2left(1+frac{4i}{n}right)=2-frac{8i}{n}$

Untuk pencarian jumlah Riemannya dengan n tak terhingga sub interval, gunakan rumus :

$S=lim_{xtoinfty}{left(sumlimits^{n}_{i=1}{f(x_i)Delta{x_i}}right)}$

Sehingga :

$S=lim_{ntoinfty}{left(sumlimits^{n}_{i=1}{f(x_i)Delta{x_i}}right)}=lim_{ntoinfty}{left(sumlimits^{n}_{i=1}{left(2-frac{8i}{n}right)left(frac{4}{n}right)}right)}\S=lim_{ntoinfty}{left(sumlimits^{n}_{i=1}{left(frac{8}{n}-frac{32i}{n^2}right)}right)}=lim_{ntoinfty}{left(frac{8}{n}sumlimits^{n}_{i=1}{1}-frac{32}{n^2}sumlimits^{n}_{i=1}{i}right)}$

Seperti kita ketahui nilai dari :

$sumlimits^{n}_{i=1}{i}=frac{1}{2}n(n+1)$ dan $sumlimits^{n}_{i=1}{1}=n$

Gunakan ini untuk memperoleh nilai dari sigma i dan 1, sehingga :

$S=lim_{ntoinfty}{left(frac{8}{n}sumlimits^{n}_{i=1}{1}-frac{32}{n^2}sumlimits^{n}_{i=1}{i}right)}=lim_{ntoinfty}{left(8-frac{32}{n^2}left(frac{1}{2}n(n+1)right)right)}\S=lim_{ntoinfty}{left(8-frac{16(n+1)}{n}right)}=8lim_{ntoinfty}{left(1-frac{2(n+1)}{n}right)}\S=8lim_{ntoinfty}{left(frac{-n-2}{n}right)}=-8$

Jadi, jumlah Riemannya adalah -8.

Semoga membantu.