Tentukan nilai dari ! - Universityku

Tentukan nilai dari !

Tentukan nilai dari $displaystyle intlimits_{1}^{3} left(2-xright)^2 ln left(4xright) , mathrm dx$ !

Untuk menyelesaikan soal integral tersebut, kita bisa melakukannya dengan teknik integral parsial (integration by parts). Teknik integral parsial adalah teknik penyelesaian integral dengan cara pemisalan karena komponen yang diintegralkan memuat variabel yang sama namun berbeda fungsi. Dalam integral tak tentu atau yang diistilahkan sebagai antiturunan (antiderivatives) atau indefinite integral, rumus untuk menggunakan teknik ini adalah sebagai berikut.

$displaystyle int u , mathrm dv = uv - int v , mathrm du$

Maka untuk integral tentu (definite integrals), rumusnya adalah sebagai berikut.

$displaystyle intlimits_{a}^{b} u , mathrm dv = left| uvright|^{a}_{b} - intlimits_{a}^{b} v , mathrm du$

___

Nah kembali pada soal diatas, menentukan nilai dari

$displaystyle intlimits_{1}^{3} left(2-xright)^2 ln left(4xright) , mathrm dx$ !

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Misalkan, $begin{aligned} u &= ln (4x) \ mathrm du&= dfrac 1x end{aligned}$ dan $begin{aligned} mathrm dv &=left( x-2 right)^2 \ v&=dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x end{aligned}$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

$begin{aligned} displaystyle intlimits_{1}^{3} left(2-xright)^2 ln(4x) , mathrm dx &=left| left(dfrac{x^3}{3}-2x^2+4x right)ln(4x) right|^3_1-intlimits_{1}^{3} dfrac{frac{x^3}{3}-2x^2+4x}{x} , mathrm dx \ &= left| left(dfrac{x^3}{3}-2x^2+4x right)ln(4x) right|^3_1-intlimits_{1}^{3} dfrac{x^2}{3}-2x+4 , mathrm dx \ &=left[ left( dfrac{3^3}{3}-2times 3^2 + 4times 3 right) ln(4times 3) -left( dfrac{1^3}{3}-2times 1^2 + 4times 1 right) ln(4times 1)right] -left[ dfrac{x^3}{9}-x^2+4x right]^3_1 \ &= dfrac{9ln(12)-14ln(2)}{3}-left[ dfrac{3^3}{9}-3^2+4times 3-dfrac{1^3}{9}-1^2+4times 1 right] \ &= dfrac{9ln(12)-14ln(2)}{3} - dfrac{26}{9} \ &= dfrac{27ln(12)-42ln(2)-26}{9} \ &= boxed{1.overline{33}} end{aligned}$