Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x³ – 3x² + 6x + 4 yang tegak lurus

Persamaan garis singgung fungsi f(x) = x³ – 3x² + 6x + 4 yang tegak lurus pada garis x + 15y = 5 adalah:

• y = 15x + 9 atau
• y = 15x – 23
   

Pembahasan

Gradien garis x + 15y = 5 adalah –1/15.

Maka, gradien garis singgung fungsi f(x) = x³–3x²+6x+4 yang tegak lurus pada garis x + 15y = 5 adalah:
m = –1/(–1/15) = –1×(–15)
⇒ m = 15

Pada setiap titik yang terletak pada kurva f(x) = x³–3x²+6x+4, gradien garis singgungnya diberikan oleh turunan pertama f(x), yaitu:
f'(x) = 3x²–6x+6

Oleh karena itu:
f'(x) = m
⇒ 3x²–6x+6 = 15
⇒ 3(x²–2x+2) = 3(5)
⇒ x²–2x+2 = 5
⇒ x²–2x–3 = 0
⇒ (x+1)(x–3) = 0
⇒ x = –1 atau x = 3
⇒ terdapat dua alternatif garis singgung

• Ketika x = –1:
  f(–1) = (–1)³ – 3(–1)² + 6(–1) + 4
  ⇒ f(–1) = –1 – 3 – 6 + 4
  ⇒ f(–2) = –6
• Ketika x = 3:
  f(3) = 3³ – 3(3²) + 6(3) + 4
  ⇒ f(3) = 27 – 27 + 18 + 4
  ⇒ f(3) = 22

Persamaan garis singgung f(x) dinyatakan oleh y = 15x + b.

• Ketika x = –1:
  y = f(–1) = 15(–1) + b
  ⇒ –6 = –15 + b
  ⇒ b = 9
• Ketika x = 3:
  y = f(3) = 15(3) + b
  ⇒ 22 = 45 + b
  ⇒ b = –23

KESIMPULAN

∴  Persamaan garis singgung fungsi f(x) = x³ – 3x² + 6x + 4 yang tegak lurus pada garis x + 15y = 5 adalah y = 15x + 9 atau y = 15x – 23.