Tentukan persamaan garis singgung lingkaran:(x-1)²+(y+5)²=10 dan malalui titik (5,-3)

By Admin ReiPosted on December 4, 2022

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran:(x-1)²+(y+5)²=10 dan malalui titik (5,-3)

Jawaban Terkonfirmasi

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2+(y+5)^2=10$ dan melalui titik (5,-3) adalah $boldsymbol{3y+x=-4~atau~y-3x=-18}$ .

PEMBAHASAN

Terdapat dua jenis persamaan garis singgung pada lingkaran, yaitu garis singgung yang ditarik dari titik pada lingkaran dan garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran.

Dengan menggunakan syarat D = 0, kita bisa mencari gradien garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah y-b=m(x-a)

.

DIKETAHUI

Persamaan lingkaran $(x-1)^2+(y+5)^2=10$

.

DITANYA

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (5,-3).

.

PENYELESAIAN

> Cek kedudukan titik (5,-3) terhadap lingkaran.

$(x-1)^2+(y+5)^2=10$

$(5-1)^2+(-3+5)^2=10$

$20> 10$

Karena hasilnya > r² maka titik (5,-3) berada di luar lingkaran.

.

> Tentukan persamaan garis singgungnya.

Misal persamaan garis singgungnya adalah y-b=m(x-a).

Karena melalui titik (5,-3) maka memenuhi :

$y-b=m(x-a)$

$y-(-3)=m(x-5)$

$y=mx-5m-3~~~~~~...(i)$

.

Substitusikan persamaan (i) kedalam lingkaran

$(x-1)^2+(y+5)^2=10$

$(x-1)^2+(mx-5m-3+5)^2=10$

$(x-1)^2+(mx-5m+2)^2=10$

$x^2-2x+1+(mx-5m)^2+2(mx-5m)(2)+4=10$

$x^2-2x+1+m^2x^2-10m^2x+25m^2+4mx-20m+4=10$

$(1+m^2)x^2+(-2-10m^2+4m)x+(25m^2-20m-5)=0$

Diperoleh :

$a=1+m^2$

$b=-2-10m^2+4m$

$c=25m^2-20m-5$

.

Syarat garis dan lingkaran berpotongan adalah :

$D=0$

$b^2-4ac=0$

$(-2-10m^2+4m)^2-4(1+m^2)(25m^2-20m-5)=0$

$4(-1-5m^2+2m)^2-4(1+m^2)(25m^2-20m-5)=0~~~~~~...kedua~ruas~dibagi~4$

$(-1-5m^2+2m)^2-(1+m^2)(25m^2-20m-5)=0$

$(-1-5m^2)^2+2(-1-5m^2)(2m)+4m^2-25m^2+20m+5-25m^4+20m^3+5m^2=0$

$1+10m^2+25m^4-4m-20m^3-16m^2+20m+5-25m^4+20m^3=0$

$-6m^2+16m+6=0~~~~~~...kedua~ruas~dibagi~-2$

$3m^2-8m-3=0$

$(3m+1)(m-3)=0$

$m=-frac{1}{3}~atau~m=3$

.

Kita substitusikan nilai gradien tersebut ke persamaan garis singgungnya.

Untuk $m=-frac{1}{3}$ :

$y-b=m(x-a)$

$y+3=-frac{1}{3}(x-5)$

$3y+9=-x+5$

$3y+x=-4$

.

Untuk m = 3 :

$y-b=m(x-a)$

$y+3=3(x-5)$

$y+3=3x-15$

$y-3x=-18$

.

KESIMPULAN

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2+(y+5)^2=10$ dan melalui titik (5,-3) adalah $boldsymbol{3y+x=-4~atau~y-3x=-18}$ .

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

PGS dari titik di luar lingkaran : brainly.co.id/tugas/30175351
PGS dari titik di luar lingkaran : brainly.co.id/tugas/29594472
PGS dari titik diluar lingkaran : brainly.co.id/tugas/27697087
PGS dengan gradien tertentu : brainly.co.id/tugas/29521145
Persamaan garis polar : brainly.co.id/tugas/29529495

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Lingkaran

Kode Kategorisasi: 11.2.5.1

Kata Kunci : persamaan, lingkaran, garis, singgung, diskriminan.

Gambar Jawaban