Tentukan solusi dari f”(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2

By Admin ReiPosted on December 5, 2022

Tentukan solusi dari f”(t)+f(t)=t dengan nilai awal f(0)=1 dan f'(0)=-2

Jawaban Terkonfirmasi

Solusi dari $f''(t)+f(t)=t$ dengan nilai awal $f(0)=1$ dan $f'(0)=-2$ adalah $boldsymbol{f(t)=-3sint+cost+t}$ .

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 non homogen mempunyai bentuk :

$displaystyle{frac{d^2y}{dx^2}+frac{dy}{dx}+y=P(x)}$

Bentuk ini mempunyai persamaan karakteristik berbentuk :

$r^2+r+1=P(x)$

Dengan P(x) ≠ 0. Jika P(x) = 0 maka disebut PD orde 2 homogen.

PD ini memiliki 2 solusi, yaitu :

1. Solusi PD homogen $y_h$ .

2. Solusi PD non homogen $y_p$ .

Sehingga solusi total dari PD orde 2 non homogen adalah :

$y=y_h+y_p$

Untuk solusi PD homogen ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda maka $y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

2. Jika akarnya real dan kembar maka $y_h=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$

3. Jika akarnya imajiner maka $y_h=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)$

Untuk solusi PD non homogen disesuaikan dengan bentuk fungsi P(x) nya. Jika P(x) berbentuk fungsi polinom berderajat n, maka pilih solusi berbentuk fungsi polinom berderajat (n+1).

.

DIKETAHUI

$f''(t)+f(t)=t$

$f(0)=1$

$f'(0)=-2$

.

DITANYA

Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Mencari solusi PD homogen.

$f''(t)+f(t)=t$

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah :

$r^2+1=0$

$r^2=-1$

$r=pmsqrt{-1}$

$r=0pm i$

.

Karena akar akarnya adalah bilangan imajiner berbentuk $r_{1,2}=apm bi$ , maka solusi homogennya adalah $f_h=e^{at}(C_1sinbt+C_2cosbt)$ .

.

Kita peroleh a = 0 dan b = 1 sehingga solusi homogennya :

$f_h=e^{(0)t}(C_1sin(1)t+C_2cos(1)t)$

$f_h=C_1sint+C_2cost$

.

> Mencari solusi PD non homogen.

Karena $P(t)=t$ (fungsi polinom berderajat 1), maka kita pilih fungsi polinom berderajat 2, yaitu :

$f_p=At^2+Bt+C$

$f_p'=2At+B$

$f_p''=2A$

.

Substitusikan kembali ke soal :

$f''(t)+f(t)=t$

$2A+At^2+Bt+C=t$

$At^2+Bt+(2A+C)=t$

.

Dengan menyamakan variabel di kedua ruas, kita peroleh :

Variabel t² :

$A=0$

.

Variabel t :

$B=1$

.

Konstanta :

$2A+C=0$

$C=-2A$

$C=0$

.

Diperoleh solusi non homogennya :

$f_p=t$

.

Maka solusi totalnya adalah :

$f(t)=f_h+f_p$

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

.

> Mencari solusi khusus.

Substitusi f(0) = 1 dan f'(0) = -2 ke solusi total.

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

$f'(t)=C_1cost-C_2sint+1$

.

$f(0)=1$

$1=C_1sin(0)+C_2cos(0)+0$

$1=C_1(0)+C_2(1)$

$C_2=1$

.

$f'(0)=-2$

$-2=C_1cos(0)-C_2sin(0)+1$

$-2=C_1(1)-C_2(0)+1$

$C_1=-3$

.

Maka solusi khusunya :

$f(t)=C_1sint+C_2cost+t$

$f(t)=-3sint+cost+t$

.

KESIMPULAN

Solusi dari $f''(t)+f(t)=t$ dengan nilai awal $f(0)=1$ dan $f'(0)=-2$ adalah $boldsymbol{f(t)=-3sint+cost+t}$ .

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

PD orde 2 non homogen : brainly.co.id/tugas/37247469
PD orde 2 non homogen : brainly.co.id/tugas/37242653
PD orde 3 homogen : brainly.co.id/tugas/37403796

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, orde dua, non homogen, solusi, nilai, awal.