Tolong banget, bantuin jawab dong

Tolong banget, bantuin jawab dong

Jawaban:

1. $y=sqrt{x^2+6x+3$

Gunakan aturan rantai; turunan fungsi dalam kali turunan fungsi luar:

$y'=underbrace{(2x+6)}_text{Turunan dalam} left( :underbrace{frac{1}{2}(x^2+6x+3)^{-1/2}}_text{Turunan luar}right)$

$displaystyle y'=(x+3)frac{1}{sqrt{x^2+6x+3} }$

$displaystyle y'=frac{x+3}{sqrt{x^2+6x+3} }$

2. Salah satu cara mencari $displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}$ adalah dengan menggunakan aturan rantai:

Perhatikan bahwa:

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}cdot frac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x}$

(Kita bisa coret kedua dt pada ruas kanan dan mengembalikannya lagi menjadi bentuk dy/dx).

Lalu, kita bisa ubah dt/dx menjadi bentuk dx/dt dengan:

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}cdot frac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x}$

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}cdot frac{1}{frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}}$

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}}{frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}}$

Maka, dari sini bisa kita dapatkan:

Untuk suatu fungsi parameter x(t) dan y(t), turunan y terhadap x (dy/dx) dapat dicari dengan membagi dy/dt dengan dx/dt.

$y(t)=2t^3-6$

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}=6t^2$

$x(t)=t^2+2t$

$displaystyle frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=2t+2$

Maka, untuk dy/dx:

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}}{frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}}$

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{6t^2}{2t+2}$

Maka,

$displaystyle frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{3t^2}{t+1}$

3. Diketahui:

$V=64:mathrm{cm}^3$

Diminta mencari luas permukaan minimum (silinder terbuka).

Volume untuk silinder adalah:

$V=pi r^2h$

Sedangkan luas untuk silinder adalah:

$L=pi r^2+underbrace{2pi r}_text{panjang:selimut} overbrace{h}^text{lebar:selimut}$

$L=pi r^2+2pi rh$ (Asumsi silinder hanya tertutup pada alas saja (atas silinder terbuka)

Sekarang, kita akan gunakan rumus dari volume untuk menyatakan h dalam r.

$V=pi r^2h$

$64=pi r^2h$

$displaystyle h=frac{64}{pi r^2}$

Substitusikan nilai h ini pada rumus luas permukaan kita:

$L=pi r^2+2pi rh$

$displaystyle L=pi r^2+2pi rcdot frac{64}{pi r^2}$

$displaystyle L=pi r^2+frac{128}{r}$

Untuk mencari luas maksimum, kita buat turunan L=0.

$L'=0$

$displaystyle 2pi r-frac{128}{r^2}=0$

$displaystyle pi r=frac{64}{r^2}$

$displaystyle r^3=frac{64}{pi}$

$displaystyle r=frac{4}{sqrt[3]{pi} }$

Kita dapat pula nilai untuk h:

$displaystyle h=frac{64}{pi r^2}=frac{64}{picdot left(frac{4}{pi^{1/3}} right)^2}$

$displaystyle h=frac{64cdot pi^{1/3}}{16pi}$

$displaystyle h=frac{4}{sqrt[3]{pi^2} }$

Maka, silinder kita akan memiliki jari-jari $displaystyle r=frac{4}{sqrt[3]{pi} }$ dan tinggi $displaystyle h=frac{4}{sqrt[3]{pi^2} }$ , dengan Luas permukaan:

$displaystyle L=pi r^2+frac{128}{r}$ (substitusi nilai r)

$L=48sqrt[3]{pi}: mathrm{m}^2$

4. Diberi persamaan:

$x^2y-xy^2+x^2+y^2=0$

Kita turunkan terhadap x pada kedua sisi:

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[x^2y-xy^2+x^2+y^2right]=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[0right]$

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[x^2y-xy^2+x^2+y^2right]=0$

Kita pecah turunannya menjadi:

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[x^2y]-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[xy^2]+frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[x^2]+frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[y^2]=0$

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[x^2y]-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[xy^2]+2x+frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[y^2]=0$

Gunakan aturan rantai:

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[x^2y]-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[xy^2]+2x+frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[y^2]=0$

$displaystylefrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[x^2y]-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}[xy^2]+2x+frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}cdotfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}y}[y^2]=0$