Tolong bantuin saya!! - Universityku

Pertanyaan :
1. Jika 2 vektor v = (2a, 3a, -1) dan w = (4, a, 3) saling tegak lurus maka ada dua nilai a yang memenuhi, jumlah kedua nilai a tersebut adalah

2. Titik A (2, 3, 4) dan C (x, y, z) berada pada suatu garis jika vektor AB : vektor BC = 1 : 3, maka x + y + z adalah

3. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = $-frac{3}{4} (x - 16)$ pada titik (4,1) dan berjari – jari 5 adalah

Tolong bantuin saya!!

Jawaban Terkonfirmasi

Nomor 1
Jika 2 vektor $vec{v}$ = (2a, 3a, -1) dan $vec{w}$ = (4, a, 3) saling tegak lurus, maka ada dua nilai $a$ yang memenuhi. Jumlah kedua nilai $a$ tersebut adalah –8/3.

Nomor 2
Titik $A(2, 3, 4)$ , $B(3, -1, 2)$ , dan $C (x, y, z)$ berada pada suatu garis. Jika vektor $overrightarrow{AB}$ : vektor $overrightarrow{BC}$ = 1 : 3, maka $x + y + z$ adalah –11.

Nomor 3
Terdapat dua alternatif persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = –¼(3x–16) pada titik (4,1) dan berjari-jari 5, yaitu

(x–1)² + (y+3)² = 5² atau
(x–7)² + (y–5)² = 5².

Untuk soal nomor 3 ini, terdapat ilustrasi pada gambar.

Catatan koreksi soal:

Penambahan data koordinat $B(3, 1, -2)$ pada soal nomor 2.
Koreksi persamaan garis singgung pada soal nomor 3.

_________________

Pembahasan

Nomor 1: Vektor

Jika $vec{v}perpvec{w}$ , maka hasil perkalian dot antara keduanya sama dengan 0.

$begin{aligned}(vec{v}&perpvec{w})\Rightarrow 0&=vec{v}cdotvec{w}\&=(2a, 3a, -1)cdot(4, a, 3)\ 0&=8a+3a^2-3\Rightarrow 0&=3a^2+8a-3\end{aligned}$

Kita memperoleh persamaan kuadrat yang memiliki 2 akar, atau 2 nilai $a$ yang memenuhi. Kita tidak perlu mencari akar-akar tersebut. Jika $a_1$ dan $a_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut, dengan $A=3$ , $B=8$ , dan $C=-3$ , maka jumlah akar-akarnya dinyatakan oleh:

$begin{aligned}a_1+a_2&=-frac{B}{A}=boxed{,-bffrac{8}{3},}end{aligned}$

Jika kita selesaikan dengan mencari akar-akarnya, kita akan memperoleh a = 1/3 atau a = –3, yang jumlahnya adalah –8/3.

$blacksquare$

Nomor 2: Vektor

Titik $A(2, 3, 4)$ , $B(3, -1, 2)$ dan $C (x, y, z)$ berada pada suatu garis, dengan perbandingan $overrightarrow{AB} : overrightarrow{BC} = 1 : 3$ .

Maka:

$begin{aligned}overrightarrow{AC}&=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}x-2\y-3\z-4end{pmatrix}&=overrightarrow{AB}+3overrightarrow{AB}=4overrightarrow{AB}\&=4begin{pmatrix}3-2\-1-3\2-4end{pmatrix}=4begin{pmatrix}1\-4\-2end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-2\y-3\z-4end{pmatrix}&=begin{pmatrix}4\-16\-8end{pmatrix}end{aligned}$

Tanpa menghitung nilai x, y, dan z, dapat diperoleh:

$begin{aligned}x-2&=4\y-3&=-16\z-4&=-8\textsf{--------}&textsf{-----------}:+\x+y+z-9&=-20\therefore x+y+z&=boxed{,bf{-}11,}\end{aligned}$

$blacksquare$

Nomor 3: Persamaan Lingkaran

Dengan jari-jari 5 satuan dan pusat $P(a, b)$ , persamaan lingkarannya adalah:
$L:(x-a)^2+(y-b)^2=5^2$

Dari persamaan garis singgung y = –¼(3x–16) yang menyinggung lingkaran $L$ di titik $(4,1)$ , kita dapat mencari sebuah garis lain, misalkan disebut garis $g$ , yang tegak lurus dengan garis singgung. Garis $g$ pasti melalui titik $(4,1)$ dan titik pusat lingkaran $P(a, b)$ .

Garis $g$ memiliki gradien (–1)/(–¼×3) = 4/3.

Gradien sebuah garis lurus merupakan perbandingan antara selisih ordinat dengan selisih absis dari dua titik yang terletak pada garis lurus tersebut. Jadi, dapat diambil:
⇒ Δy = 4, Δx = 3

$begin{aligned}bullet &Delta x=left|x_1-aright|=3\&(x_1=4)\&Rightarrow |4-a|=3\&Rightarrow a_1=1,, a_2=7\bullet &Delta y=left|y_1-bright|=4\&(y_1=1)\&Rightarrow |1-b|=4\&Rightarrow b_1=-3,, b_2=5\end{aligned}$

Kita memperoleh 2 alternatif titik pusat lingkaran L, yaitu $P_1(bf1, -3)$ dan $P_2(bf7, 5)$ .

Cara lainnya

Dengan vektor, kita juga dapat mencari titik $P(a, b)$ .

Karena gradien garis $g$ adalah 4/3, jika titik singgungnya adalah $Q(4,1)$ , maka vektor yang terbentuk antara titik pusat $P(a, b)$ dengan titik singgung tersebut dapat dinyatakan oleh:

$overrightarrow{P_1Q}=overrightarrow{QP_2}=begin{pmatrix}3\4end{pmatrix}$

sehingga:

$begin{aligned}begin{pmatrix}3\4end{pmatrix}&=overrightarrow{P_1Q}=vec{q}-vec{p_1}\begin{pmatrix}3\4end{pmatrix}&=begin{pmatrix}4-a\1-bend{pmatrix}\Rightarrow a&=1,b=-3 therefore P_1(bf1,-3)end{aligned}$

$begin{aligned}begin{pmatrix}3\4end{pmatrix}&=overrightarrow{QP_2}=vec{p_2}-vec{q}\begin{pmatrix}3\4end{pmatrix}&=begin{pmatrix}a-4\b-1end{pmatrix}\Rightarrow a&=7,b=5 therefore P_2(bf7,5)end{aligned}$

Kita memperoleh hasil yang sama.

Persamaan lingkaran yang memenuhi pernyataan pada soal adalah:

$largetext{$begin{aligned}bullet &(x-1)^2+(y+3)^2=5^2\bullet &(x-7)^2+(y-5)^2=5^2\end{aligned}$}$

$blacksquare$

Gambar Jawaban