Tolong buktikan bahwa √(2) dan

${}^{2} log(3)$
merupakan bilangan irrasional?

(Minta tolong kakak2 yang pandai Matematika)
:""

#JumatBerkah
#AlKahfi

Tolong buktikan bahwa √(2) dan

Jawaban Terkonfirmasi

Pendahuluan

Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , yaitu $a/b$ atau $dfrac{a}{b}$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau perbandingan dua bilangan bulat. Jika dicoba dinyatakan dalam bentuk pecahan, hasil baginya tidak pernah berhenti.

_____________________

Pembuktian

Pembuktian 1: √2 merupakan bilangan irasional.

Cara pembuktian yang digunakan adalah kontradiksi, dengan mengasumsikan bahwa $sqrt{2}$ adalah bilangan rasional.

Pada bilangan bulat, kuadrat dari bilangan bulat genap pasti genap, sehingga berlaku:

$largetext{$begin{aligned}2mid p^2implies 2mid pquad...(i)end{aligned}$}$

(Artinya: Jika 2 habis membagi $p^2$ , maka 2 habis membagi $p$ . Dengan kata lain, $p$ merupakan bilangan bulat genap, begitu pula $p^2$ .)

Jika $sqrt{2}$ adalah bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat $p$ dan $q$ , di mana $p$ dan $q$ saling prima, atau dengan kata lain FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1 (tidak memiliki faktor persekutuan lain selain 1), yang memenuhi:

$largetext{$begin{aligned}sqrt{2}=frac{p}{q}end{aligned}$}$

Karena $p$ dan $q$ saling prima, maka pecahan $p/q$ tersebut adalah bentuk pecahan paling sederhana.

Jika kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh:

$largetext{$begin{aligned}2=frac{p^2}{q^2}iff p^2=2q^2end{aligned}$}$

Hal ini berarti bahwa $p^2$ merupakan bilangan bulat genap.

Oleh karena itu, pernyataan $(i)$ berlaku, bahwa:

$largetext{$begin{aligned}2mid p^2implies 2mid pend{aligned}$}$

sehingga $p$ juga merupakan bilangan bulat genap.

Karena genap, maka terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $p$ dapat dinyatakan sebagai:

$largetext{$begin{aligned}p=2kend{aligned}$}$

Akibatnya:

$largetext{$begin{aligned}&2q^2=p^2=(2k)^2=4k^2\&implies q^2=2k^2end{aligned}$}$

Ternyata, $q^2$ adalah bilangan bulat genap. Dan oleh karenanya, berdasarkan pernayataan $(i)$ , $q$ juga adalah bilangan bulat genap.

Jadi, baik $p$ maupun $q$ adalah bilangan bulat genap, sehingga $p$ dan $q$ tidak mungkin saling prima, karena kedua bilangan tersebut setidaknya memiliki faktor persekutuan lain selain 1, yaitu 2.
Hal ini kontradiktif dengan asumsi di atas, bahwa FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1, sehingga tidak terbukti bahwa $sqrt{2}$ adalah bilangan rasional.

KESIMPULAN
∴ Oleh karena itu, berdasarkan pembuktian dengan kontradiksi, $sqrt{2}$ tidak mungkin merupakan bilangan rasional.
Dengan kata lain, $sqrt{bf2}$ adalah bilangan irasional.
$blacksquare$

_____________________

Pembuktian 2: ²log(3) merupakan bilangan irasional.

Sama seperti di atas, kita akan menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, dengan mengasumsikan bahwa ${}^2log(3)$ adalah bilangan rasional.

Jika ${}^2log(3)$ adalah bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat $p$ dan $q$ , di mana $p$ dan $q$ saling prima, atau dengan kata lain FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1, yang memenuhi:

$largetext{$begin{aligned}{}^2log(3)=frac{p}{q}end{aligned}$}$

Hal ini berarti:

$largetext{$begin{aligned}2^{p/q}=3iff2^p=3^qend{aligned}$}$

Nilai $2^p$ selalu merupakan bilangan genap. Sedangkan nilai $3^q$ selalu merupakan bilangan ganjil, tidak mungkin genap.

Akibatnya, $2^p=3^q$ adalah pernyataan yang salah, karena $2^p$ tidak mungkin bisa sama dengan $3^q$ . Hal ini menganulir atau kontradiktif dengan asumsi di atas.

KESIMPULAN
∴ Oleh karena itu, berdasarkan pembuktian dengan kontradiksi, ${}^2log(3)$ tidak mungkin merupakan bilangan rasional.
Dengan kata lain, $bf{}^2log(3)$ adalah bilangan irasional.
$blacksquare$