Turunan trigonometri dari

Turunan trigonometri dari

NO. 1

y = cot(x)×csc(x)
$y = cot(x) csc(x)$

fungsi ini mengandung perkalian fungsi, maka dipecahkan dengsn skema

y' = u'v + uv'

misal

$u = cot(x) \ u' = - { csc }^{2} (x)$
sedangkan
$v = csc(x) \ v' = - csc(x) cos(x)$
maka
$y' = u'v + uv' \ = - csc^{2} (x) times csc(x) + cot(x) times ( - csc(x) times cos(x) ) \ = - csc^{3} (x) - cot(x) times ( csc(x) times cos(x) \ = - csc^{3} (x) - frac{ cos(x) }{ sin(x) } times frac{1}{ sin(x) } times cos(x) \ = - csc^{3} (x) - cot^{2} (x)$
NO. 2

$y = tan( sqrt{ {x}^{2} + 8x} )$
turunan fungsi ini menggunakan turunan bertingkat dengan skema
$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} times frac{du}{dv} times frac{dv}{dx}$
$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} times frac{du}{dv} times frac{dv}{dx}$

misal
$v = {x}^{2} + 8x \ frac{dv}{dx} = 2x + 8$
dan
$u = sqrt{v} = {v}^{ frac{1}{2} } \ frac{du}{dv} = frac{1}{2} {v}^{ - frac{1}{2} }$

dan
$y = tan(u) \ frac{dy}{du} = sec^{2} u$
dengan skema di atas,substitusikan
$frac{dy}{dx} = sec^{2} u times frac{1}{2} {v}^{ - frac{1}{2} } times (2x + 8) \ = sec^{2} sqrt{ {x}^{2} + 8x} times frac{1}{2 sqrt{ {x}^{2} + 8x} } times (2x + 8) \ = frac{x + 4}{ sqrt{ {x}^{2} + 8x} } times sec^{2} sqrt{ {x}^{2} + 8x}$

NO. 3

$y = frac{1 + cos(x) }{ - sin(x) }$
fungsi y mengandung pembagian fungsi, maka turunan fungsi y didapatkan dengan skema

$y' = frac{u'v-uv'}{ {v}^{2} }$
misal
$u =1 + cos(x) \ u' = - sin(x)$
dan
$v = - sin(x) \ v' = - cos(x)$
substitusikan nilai-nilai di atas
$y' = frac{( - sin(x) )( - sin(x) ) - (1 + cos(x) )( - cos(x) )}{ sin^{2}( x) } \ = frac{sin^{2} (x) - ( - cos(x) - cos^{2} (x))}{sin^{2}(x)} \ frac{sin^{2} (x) + cos(x) +cos^{2} (x)}{sin^{2} (x)}$
dengan hubungan
$sin^{2} (x)+ cos^{2} (x) = 1$
maka
$y = frac{1 + cos(x) } {sin^{2} (x)}$

NO. 4
$y = cos^{3} ( 2{x}^{3} - {x}^{2} )$

turunan fungsi ini menggunakan turunan bertingkat dengan skema
$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} times frac{du}{dv} times frac{dv}{dx}$
misal
$v = 2 {x}^{3} - {x}^{2} \ frac{dv}{dx} = 6 {x}^{2} - 2x$
dan
$u = cos(v) \ frac{du}{dv} = - sin(v)$
dan
$y = {u}^{3} \ frac{dy}{du} = 3 {u}^{2}$
maka, dengan substitusi nilai-nilai tersebut pada skema di atas
$frac{dy}{dx} = (3 {u}^{2} ) times ( - sin(v) ) times (6 {x}^{2} - 2x) \ = (3 cos^{2}(2 {x}^{3} - {x}^{2} ) ) times ( - sin(2 {x}^{3} - {x}^{2} ) ) times (6 {x}^{2} - 2x) \ = ( - 18 {x}^{2} + 6x) times cos^{2}(2 {x}^{3} - {x}^{2} ) ) times ( - sin(2 {x}^{3} - {x}^{2} ) )$

NO. 5
$y = sin( frac{1}{ {x}^{2} } )$

turunan fungsi ini menggunakan turunan bertingkat dengan skema

$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} times frac{du}{dx}$
misal
$u = frac{1}{x} = {x}^{ - 2} \ frac{du}{dx} = - 2{x}^{ - 3}$
dan
$y = sin(u) \ frac{dy}{du} = cos(u)$
maka, dengan substitusi nilai-nilai tersebut pada skema di atas
$frac{dy}{dx} = ( cos(u) ) times ( - 2 {x}^{ - 3} ) \ = - frac{2}{ {x}^{3} } times cos( frac{1}{ {x}^{2} } )$