V adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefenisikan penjumlahan (f+g) (x) = f(x) + g (x) dan perkalian skalar (Af)(x) = f(x) untuk setiap f, g € V serta x dan Askalar real. Contoh untuk operasi ini : Misalnya : f (x) = 2 x² dan g(x) = 6x + 2, Tunjukkan bahwa V suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

V adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefenisikan penjumlahan (f+g) (x) = f(x) + g (x) dan perkalian skalar (Af)(x) = f(x) untuk setiap f, g € V serta x dan Askalar real. Contoh untuk operasi ini : Misalnya : f (x) = 2 x² dan g(x) = 6x + 2, Tunjukkan bahwa V suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

Jawaban Terkonfirmasi

(Uraian jawaban di bawah ini.) 

_____________________

Pendahuluan

Ruang Vektor di atas Suatu Field

Suatu ruang vektor $V$ di atas field $mathbb{F}$ adalah himpunan tak hampa $V$ , yang memuat vektor $bf0$ dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.

$begin{aligned}&(i) forall u,v,win Vrm berlaku\&quadleft{!!begin{array}{lll}rm(A1)&u+vin V\&rm(sifat tertutup)\rm(A2)&u+v=v+u&\&rm(sifat komutatif)\rm(A3)&(u+v)+w=u+(v+w)\&rm(sifat asosiatif)\rm(A4)&{bf0}+u=u\&rm(vektor nol)\rm(A5)&exists:{-}uin Vni u+(-u)=bf0\&rm(vektor balikan)\end{array}right.end{aligned}$

$begin{aligned}&(ii) forall u,vin V{rm dan }forall alpha,betainmathbb{F}rm berlaku\&quadleft{!!begin{array}{lll}rm(A6)&alpha uin V\rm(A7)&1cdot v=v&\rm(A8)&alpha(u+v)=alpha u+alpha v\&rm(sifat distributif)\rm(A9)&(alpha+beta)v=alpha v+beta v\&rm(sifat distributif)\rm(A10)&(alphabeta)v=alpha(beta v)\end{array}right.end{aligned}$

_____________________

Pembahasan

Catatan:
Pada deskripsi persoalan di bawah ini, saya ubah sedikit agar lebih lengkap.

PERSOALAN

$V$ adalah himpunan semua fungsi-fungsi real dari satu variabel. Didefinisikan penjumlahan $(f+g)(x) = f(x) + g (x)$ dan perkalian skalar $(alpha f)(x) = f(x)$ untuk setiap $f, g in V$ serta $x$ dan $alpha$ skalar real.
Contoh untuk operasi ini:
Misalnya: $f (x) = 2x^2$ dan $g(x) = 6x + 2$ , maka $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x^2+6x+2$ , dan $(5f)(x)=5f(x)=10x^2$ .
Tunjukkan bahwa $V$ suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

PENYELESAIAN

Kita selidiki semua aksioma ruang vektor di atas, apakah terpenuhi oleh $V$ .

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $xinmathbb{R}$ berlaku}\&quad(f+g)(x)=f(x)+g(x)in V\&textsf{Oleh karena itu, $(f+g)(x)in V$}.\&therefore boxed{text{$bf A1$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $xinmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}(f+g)(x)&=(g+f)(x)\&=g(x)+f(x)in Vend{aligned}\&textsf{Oleh karena itu, $(f+g)(x)in V$}.\&therefore boxed{text{$bf A2$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Misalkan terdapat $h(x)in V$, maka}\&textsf{untuk setiap $xinmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}left((f+g)+hright)(x)&=(f+g)(x)+h(x)\&=f(x)+g(x)+h(x)\&=f(x)+(g+h)(x)\&=left(f+(g+h)right)(x)end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A3$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $xinmathbb{R}$, terdapat}\&textsf{fungsi nol, yaitu $0(x)=0$,}\&textsf{sehingga berlaku}\&quadbegin{aligned}&0(x)+(f+g)(x)\&quad=0+f(x)+g(x)\&quad=(f+g)(x)end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A4$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $xinmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}&{-}(f+g)(x)+(f+g)(x)\&{quad= }{-}left(f(x)+g(x)right)+f(x)+g(x)\&{quad= }-f(x)-g(x)+f(x)+g(x)\&{quad= }left(f(x)-f(x)right)+left(g(x)-g(x)right)\&{quad= }0+0\&{quad= }0end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A5$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $x,alphainmathbb{R}$ berlaku}\&quad(alpha f)(x)=alpha f(x)\&textsf{Oleh karena itu, $(alpha f)(x)in V$}.\&therefore boxed{text{$bf A6$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $xinmathbb{R}$ berlaku}\&quad1cdot f(x)=f(x)\&therefore boxed{text{$bf A7$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $x,alphainmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}left(alpha(f+g)right)(x)&=alphaleft((f+g)(x)right)\&=alpha f(x)+alpha g(x)\&=(alpha f)(x)+(alpha g)(x)\&=(alpha f+alpha g)(x)end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A8$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $x,alpha,betainmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}left(alpha+betaright)f(x)&=alpha f(x)+beta f(x)\&=(alpha f)(x)+(beta f)(x)\&=left(alpha f+beta fright)(x)\end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A9$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

$begin{aligned}bullet &textsf{Untuk setiap $x,alpha,betainmathbb{R}$ berlaku}\&quadbegin{aligned}left(alphabetaright)f(x)&=alphaleft(beta f(x)right)\&=alphaleft(beta fright)(x)\end{aligned}\&therefore boxed{text{$bf A10$ terpenuhi}.}\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Telah ditunjukkan bahwa $V$ memenuhi semua aksioma ruang vektor. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa $V$ adalah suatu ruang vektor di atas field himpunan bilangan real.

$blacksquare$