∫▒〖(3x dx)/√(x^2+2x+5)=〗

∫▒〖(3x dx)/√(x^2+2x+5)=〗

Jawaban Terkonfirmasi

Hasil dari $displaystyle{intlimits {frac{3x}{sqrt{x^2+2x+5}}} , dx }$ adalah $displaystyle{boldsymbol{3sqrt{x^2+2x+5}-3lnleft | frac{x+1+sqrt{x^2+2x+5}}{2} right |+C} }$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$displaystyle{f(x)=intlimits {left [ frac{df(x)}{dx} right ]} , dx}$

Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral dengan bentuk :

$displaystyle{sqrt{a^2-x^2}~to~substitusi~sintheta=frac{x}{a} }$

$displaystyle{sqrt{x^2-a^2}~to~substitusi~sectheta=frac{x}{a} }$

$displaystyle{sqrt{x^2+a^2}~to~substitusi~tantheta=frac{x}{a} }$

DIKETAHUI

$displaystyle{intlimits {frac{3x}{sqrt{x^2+2x+5}}} , dx= }$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

$displaystyle{intlimits {frac{3x}{sqrt{x^2+2x+5}}} , dx }$

$displaystyle{=3intlimits {frac{x}{sqrt{(x^2+2x+1)+4}}} , dx }$

$displaystyle{=3intlimits {frac{x}{sqrt{(x+1)^2+4}}} , dx }$

$---------------$

Gunakan substitusi trigonometri. Misal :

$displaystyle{tantheta=frac{x+1}{2} }$

$displaystyle{2tantheta=x+1}$

$displaystyle{2tantheta-1=x}$

$displaystyle{2sec^2theta dtheta=dx}$

$---------------$

$displaystyle{=3intlimits {frac{(2tantheta-1)}{sqrt{(2tantheta-1+1)^2+4}}} , (2sec^2theta dtheta) }$

$displaystyle{=6intlimits {frac{(2tantheta-1)sec^2theta}{sqrt{4tan^2theta+4}}} , dtheta }$

$displaystyle{=6intlimits {frac{(2tantheta-1)sec^2theta}{sqrt{4(tan^2theta+1)}}} , dtheta }$

$displaystyle{=6intlimits {frac{(2tantheta-1)sec^2theta}{sqrt{4sec^2theta}}} , dtheta }$

$displaystyle{=6intlimits {frac{(2tantheta-1)sec^2theta}{2sectheta}} , dtheta }$

$displaystyle{=3intlimits {(2tantheta-1)sectheta} , dtheta }$

$displaystyle{=3intlimits {(2tantheta sectheta-sectheta)} , dtheta }$

$displaystyle{=3(2sectheta-ln|tantheta+sectheta)+C }$

$displaystyle{=6sectheta-3ln|tantheta+sectheta)+C }$

$---------------$

Mencari $sectheta$ :

$displaystyle{tantheta=frac{x+1}{2} }$

$displaystyle{frac{sisi~depan}{sisi~samping}=frac{x+1}{2} }$

$sisi~miring=sqrt{(sisi~depan)^2+(sisi~samping)^2}$

$sisi~miring=sqrt{(x+1)^2+2^2}$

$sisi~miring=sqrt{x^2+2x+5}$

Maka :

$displaystyle{sectheta=frac{sisi~miring}{sisi~samping} }$

$displaystyle{sectheta=frac{sqrt{x^2+2x+5}}{2} }$

$---------------$

$displaystyle{=frac{6sqrt{x^2+2x+5}}{2}-3lnleft | frac{x+1}{2}+frac{6sqrt{x^2+2x+5}}{2} right |+C }$

$displaystyle{=3sqrt{x^2+2x+5}-3lnleft | frac{x+1+sqrt{x^2+2x+5}}{2} right |+C }$

KESIMPULAN

Hasil dari $displaystyle{intlimits {frac{3x}{sqrt{x^2+2x+5}}} , dx }$ adalah $displaystyle{boldsymbol{3sqrt{x^2+2x+5}-3lnleft | frac{x+1+sqrt{x^2+2x+5}}{2} right |+C} }$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral substitusi trigonometri : brainly.co.id/tugas/40327197
Integral substitusi trigonometri : brainly.co.id/tugas/30251199
Integral substitusi trigonometri : brainly.co.id/tugas/30205263

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, antiturunan, substitusi, trigonometri.